Aljabar untuk USM STAN

ALJABAR

Pemfaktoran dan Penguraian

A.     Pengantar

(Ceritakan apa dan bagaimana tentang bab ini)

B.     Trend Soal

Tahun	2010	2011	2012	2013	2014
Jumlah Soal yang Keluar	10	11	12	13	14

C.     Materi

1.  SUKU TUNGGAL DAN SUKU BANYAK

          i.          Bentuk aljabar 3a, –3ab² disebut suku tunggal (monomi)

       ii.          Bentuk aljabar –2x + 3y disebut suku dua (binom).

     iii.          Bentuk aljabar mn – pq + 7, dan x² – xy + y² disebut suku tiga (trinom).

      iv.          Bentuk aljabar yang terdiri lebih dari 3 suku disebut suku banyak (polinom).

Contoh:

2a – 3b + 4c – 5, x³ – 2x² + 3x + 5, dan x³ + 2x²y + 3xy² + 4xy + x + y + 2. Perhatikan bentuk –2x²y + 5, –2 dan 5 disebut koefisien (tetapi secara umum “5” dianggap bilangan konstan sehingga disebut konstanta), x dan y disebut variabel atau peubah, dan angka 2 pada x² disebut pangkat atau derajat. Pada bentuk –2x²y; –2, x, x², dan y disebut faktor dari –2x²y.

2.    SIFAT-SIFAT OPERASI ALJABAR

Jika m, n, dan p adalah bilangan bulat, maka:

1.      m + n = n + m.                        (sifat komutatif pada penjumlahan)

2.       (m + n) + p = m + (n + p).      (sifat asosiatif pada penjumlahan)

3.      m . (n + p) = m . n + m . p       (sifat distributif)

4.      m . n = n . m.                          (sifat komutatif pada perkalian)

5.      (m . n) . p = m . (n . p).           (sifat asosiatif pada perkalian)

6.      m + 0 = m                                (elemen identitas pada penjumlahan)

7.      m . 1 = m                                 (elemen identitas pada perkalian)

8.      m + (–m) = 0                           (invers penjumlahan)

9.      m . 1/m = 1                              (invers perkalian)

10.  Jika m . n = m  p dan m ≠ 0, maka n = p (pencoretan)

3.    PEMANGKATAN BENTUK ALJABAR

1.              (a + b)² = a² + 2ab + b² (a – b)² = a² – 2ab + b²

2.              (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)

3.              (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ = a³ – b³ – 3ab(a – b)

4.              (a + b)⁴ = (a + b)(a³ + 3a²b + 3ab² + b³)

5.              (a – b)⁴ = (a – b)( a³ – 3a²b + 3ab² + b³)

6.               (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz

4.    BENTUK FAKTORISASI KHUSUS

1.             Jumlah dan selisih dari dua bentuk aljabar kuadrat.

A.     x² + y² = (x + y)² – 2xy

B.     x² + y² = (x – y)² + 2xy

C.     x² – y² = (x + y)(x – y)

2.             Jumlah dan selisih dari dua bentuk aljabar kubik.

A.     x³ + y³ = (x + y)(x² – 2xy + y²)

B.     x³ – y³ = (x – y)(x² + 2xy + y²)

C.     x³ + y³ = (x² + y²)(x + y) – xy(x + y) = (x + y)³ – 3xy(x + y)

D.    x³ – y³ = (x² + y²)(x – y) – xy(x – y) = (x – y)³ + 3xy(x – y)

3.             Jumlah dan selisih dari dua bentuk aljabar berpangkat n.

A.      xⁿ + yⁿ = (x + y)( x^{n – 1} – x^{n – 2}y¹ + x^{n – 3}y² + … + y^{n – 1}) --> n elemen ganjil

B.      xⁿ – yⁿ = (x – y)( x^{n – 1} + x^{n – 2}y¹ + x^{n – 3}y² + … + y^{n – 1}) --> n elemen bilangan asli

5.    PEMFAKTORAN BENTUK ALJABAR

Berikut adalah rumus-rumus perkalian istimewa.

A.       a(c ± d) = ac ± cd

B.        (a ± b)(a ± b) = (a ± b)² = a² ± 2ab + b²

C.        (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

D.       (ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd

E.        (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd

D.    Contoh Soal dan Pembahasan

a.       Soal dari USM STAN

Contoh 1 :

[USM STAN 2009]Nilai dari 56, 34² – 43, 66² =… .

A.     1268, 0

B.     1268, 1

C.     1269, 0

D.    1269, 1

Solusi :

Perhatikan bahwa x² − y² = (x + y)(x − y), maka didapat

56, 34² – 43, 66² = (56, 34 + 43, 66)( 56, 34 – 43, 66)

                          = (100)(12,68)

                          =1268

Contoh 2:

[USM STAN 2013] Jika dan  maka nilai dari adalah…

A.     4

B.     7

C.     10

D.    16

E.      21

Solusi :

b.      Contoh soal yang lain

Contoh :

Bila x + y = 7 dan xy = 12, maka nilai dari x² + y² = … .

A.     49

B.     84

C.     14

D.    25

E.      20

Solusi :

(x + y)²                = x² + 2xy + y²

(7)²        = x² + 2 . 12 + y²

y²  + x² = 49 -24 = 25

E.      Latihan dan Kunci Jawaban

1.       61,17² - 38,83² = … .

A.      2234,0

B.       2231,4

C.      2323,4

D.     2324,0

E.      2324,4

2.       ( 2014 :  2)² − (2012 : 2 )² =  … .

A.       2016

B.       2015

C.      2014

D.     2013

E.      2012

3.       Hitunglah hasil dari 1² – 2² + 3² – 4² + 5² – 6² + …. + 2009² – 2010² + 2011²  adalah … .

A.       2023066

B.       2023069

C.      2220669

D.     232066

E.      2220666

Kunci Jawaban

1.       A

2.       D

3.      A